收稿日期: 2020-11-10; 网络出版时间: 2021-08-26 20:21:37作者简介: 刘志（1986—）教授，博士. 研究方向：传动机构数字化设计与制造. E-mail：基金项目: 国家自然科学基金项目（51675393）；湖北省教育厅科研计划重点项目（D20192903）；黄冈市科技计划项目（XQYF2020000031）: 为提升锥面包络蜗杆与二次包络蜗轮的模型精度，提出其复杂齿廓数字化建模方法与模型求解算法。基于蜗轮副成型过程构建了锥母面砂轮、蜗杆与蜗轮的坐标标架及数字建模系统，采用矢量法、微分几何和运动学等方法推导了蜗杆齿廓的啮合方程，运用空间变换矩和啮合理论建立了蜗杆齿廓的数字表征模型。以蜗杆齿廓为新母面进行二次包络运动，建立了二次包络蜗轮齿廓的啮合方程与数字模型。通过联立母面包络条件和蜗轮副齿廓边界，给出了蜗轮副齿顶和齿底环面母线方程，并构建了蜗轮副数字表征模型的约束条件。针对蜗杆与蜗轮齿廓成型特征，设计了复杂齿面数字表征模型的求解算法。在MATLAB环境下开发求解算法计算程序，计算蜗杆齿廓和蜗轮齿廓在不同坐标系下的接触样线，计算结果表明，蜗杆和蜗轮接触线均保持复杂的非线性。根据设计的求解算法计算出了蜗杆与蜗轮齿廓的全部啮合点云，采用逆向包络法验证了点云计算精度。在Creo环境下，对啮合点云进行包络拟合得到了蜗杆与蜗轮3维数字化模型，根据成型过程和啮合条件将蜗杆与蜗轮进行虚拟装配及运动仿真，验证建模效果和传动性能。建模实例和装配结果显示，蜗轮副计算点云精度保持在10级之间，传动效果与理论相符，证实了数字模型与求解算法的有效性与准确性。Digitalization Modeling and Solving Algorithm for Conical Double-enveloping Hourglass Worm Wheel Pair1. School of Electromechanical and Automobile Eng., Huanggang Normal Univ., Huanggang 438000, China

　　包络成型蜗轮传动副在机械装备中应用广泛，尤其用于各种精密和重型传动。复杂的包络运动使此类蜗轮副齿廓通常为空间复杂曲面，也造就了其零件具有传动平稳、啮合紧凑、效率高、承载强、寿命长等优异性能[1-2]。此优异的啮合性能对蜗轮副齿面精度和啮合关系要求十分严格[3-4]，由建模方法和求解算法导致的几何误差及啮合偏差，将直接降低蜗轮副在工程中的应用性能[5-6]。

　　数字包络法和解析法是复杂包络成型面的主要表征方法。数字包络法模拟包络面的成型过程，实施布尔运算获取包络面实体模型。数字包络法操作简单，但缺乏包络母面与工件之间的映射关系，无法得到啮合点云的坐标信息，不适用于包络线]。对生成的系列离散化曲面片进行重构获取光滑曲面模型过程中，不可避免存在重构误差。此建模方法精度难以保证，常用于蜗轮副啮合性能的宏观分析[8]。解析法能获取较高的建模精度，但涉及复杂的数学运算与模型求解

　　9]。陈燕等[10]为探究渐开线包络环面蜗杆基本参数对传动性能的影响，运用啮合理论等方法推导了蜗杆副的啮合方程和齿面模型，分析了传动比、法向模数等主要建模参数对传动性能的影响，给出了接触斑点的分布区域。邓星桥等[11]对滚子包络蜗杆传动机构展开了系统研究，运用齿轮啮合理论构建了其啮合方程、接触线方程以及诱导法曲率等，并运用MATLAB对啮合模型进行了数值计算分析。赵超飞等[12]对环面蜗杆–圆柱斜齿轮传动机构开展了建模研究，通过蜗杆与斜齿轮的几何设计参数建立了蜗杆与斜齿轮的3维模型，探究了此类传动机构的接触性能。张敬孜等[13]研究了变齿厚内齿轮包络鼓形蜗杆传动的接触线方程、蜗杆蜗轮齿面方程、一类和二类界限曲线的数学模型，分析了蜗轮转动角度、工作角度等主要设计参数间的关联，并开发了蜗杆传动装置。王凯等[14]研究了无侧隙端面啮合蜗杆传动的啮合方程，在MATLAB环境中拟合得到蜗杆螺旋线维模型。Liu等[15]对包络成型面的一般表征方法做了阐述，运用运动学和空间坐标转化方法等数学工具构建了一次、二次包络成型面的一般数学模型，以工程中典型包络面为建模对象进行了实例验证。刘志等[16-17]研究了平面一次包络环面蜗杆和二次包络环面蜗轮的数字建模方法，推导了蜗杆和蜗轮的齿面啮合方程和接触线方程，计算了蜗杆和蜗轮的啮合点云。关于锥面包络环面蜗轮传动副的研究相对较少，程福安等[18]较早提出了锥面包络蜗轮副传动形式，阐明了此类蜗轮传动副的成型原理，建立了建模活动标架，推导了蜗杆齿廓啮合方程，并分析了二次包络蜗轮的成型方法，为后续研究提供了基础。赵先锋等[19]采用解析法与数字包络法相结合的手段对锥面包络蜗杆开展了建模研究，通过构建活动标架，运用啮合理论建立了蜗杆齿面的轴面截形曲线和轴向螺旋线，在Solidworks环境下获得了蜗杆实体模型。王志刚等[20]研究了双锥面包络环面蜗杆齿廓啮合方程的构建方法，阐述了蜗杆传动的轴向截面齿形的计算方法，并提出了理论齿形的求解思路。席晨如[21]研究了锥面包络蜗杆传动的啮合理论，构建了蜗杆的啮合函数，建立了蜗杆方程和蜗轮齿面方程，分析了蜗杆和蜗轮齿面接触线的分布。包络蜗杆传动机构具有优异的啮合性能和广阔的应用前景，学者们围绕其数字建模和性能分析开展了广泛研究。限于成型过程和啮合齿面的复杂性，现有研究主要集中于讨论传动副的数字建模理论，缺乏有效求解算法对理论模型进行全面求解，模型的有效性和准确性缺乏验证。对于锥面二次包络环面蜗轮，其建模理论研究也相对偏少。精密数字模型和模型求解算法的缺乏制约了蜗轮副的高精度数字制造及高性能应用。作者基于啮合理论等数学工具系统推导锥面包络蜗杆和二次包络蜗轮的数字模型。设计数字模型求解算法，获取蜗杆和蜗轮的全部瞬时接触线维数字化模型。研究结果可为此类蜗轮传动副的高精度制造和高性能应用提供模型基础。

　　中，刀架底圆与蜗轮基圆重合。刀架角速度为ω3，蜗杆角速度为ω2，蜗轮角速度为ω3，i12为蜗轮副传动比，ω2/ω3=i12。O2O3为蜗轮副的中心距a，母面砂轮底圆中心与刀架切线 锥面一次包络环面蜗杆数字模型2.1 锥面一次包络环面蜗杆建模标架根据

　　为母面砂轮锥面倾角，R1为砂轮底圆半径，圆O为砂轮任意截面，M为截面上任一点。图3(Fig. 3)

　　轴的旋转变换，TraX表示沿X轴的平移变换，其他类同。根据运动学方法，空间两构件的相对运动速度计算如下：

　　β1最大取值区间为一个圆周。根据蜗杆基本参数计算包络角度${\varphi _3} $的取值区间后，在其区间内将${\varphi _3} $等值离散，每一离散的${\varphi _3} $对应一条蜗杆齿廓接触线的圆周取值区间内，继续将其等值离散，通过蜗杆齿廓啮合方程获取系列满足啮合条件的(β1，r1)组合，以构成每一包络瞬间的接触点。算法框图如图7所示。图7(Fig. 7)图7蜗杆右侧工作齿廓模型求解算法流程图

　　All contact lines of working tooth of worm wheel

　　可知，蜗轮一次、二次接触区均为曲面，二者衔接完好，表明了理论模型和求解算法的准确性。蜗轮齿底齿顶圆环母线)

　　Addendum and bottom generatrix of worm wheel

　　分析蜗杆与蜗轮齿面点云计算精度。对每一计算的点云先分别逆向计算其在包络运动中对应的公法矢量与相对运动速度矢量，然后，计算公法矢量与速度矢量的数量级，将运算结果与零作差，衡量点云的计算误差。蜗轮副啮合点云误差如

　　Calculation error curves of the worm wheel pair

　　将蜗杆与蜗轮工作齿廓接触线簇及环面母线导入Creo中，可构建蜗杆与蜗轮的3维数字化实体模型。参照

　　所示。按照成型条件将装配的蜗轮副进行虚拟运动仿真，仿真运行结果表明蜗杆与蜗轮啮合紧凑，无干涉现象，传动效果与理论相符，表明了蜗轮副模型的准确性和求解算法的有效性。

　　Assembly model of the worm wheel pair

　　构建了锥面包络环面蜗轮传动副的数字建模标架，推导了锥面包络环面蜗杆的啮合方程、接触线和齿面数字模型。以蜗杆齿面为母面，建立了二次包络环面蜗轮的啮合方程与齿面数字模型。建立了蜗杆与蜗轮数字模型的约束条件，设计了蜗杆与蜗轮齿面复杂数学模型的求解算法。给出了蜗轮副建模参数计算方法，通过MATLAB程序计算了蜗杆与蜗轮齿面全部非线性接触线簇。数字化建模实例表明建模方法和模型求解算法能够实现此类复杂蜗轮传动副的精确数字化实体建模，研究结果可为蜗杆、蜗轮滚刀和蜗轮的高精度数字制造提供模型基础，能有效提升传动副的传动性能和应用效果。